Statistiken (S)

12.4.5. Statistiken (S)#

Zum Schluss macht sich Julia an den letzten Baustein des Fallbeispiels: die statistische Auswertung der NO₂-Messwerte.

Ziel ist eine tabellarische Übersicht ähnlich zu pandas.describe() – aber ohne Pandas (also ohne externe Bibliotheken): Anzahl, Mittelwert, Standardabweichung, Minimum/Maximum sowie Quartile (25 %, Median, 75 %). Quartile sind dabei ein Spezialfall von Quantilen.

12.4.5.1. Quantile: Idee#

Julia startet mit der Berechnung von Quantilen. Sie recherchiert erst einmal, was das ist, und findet folgendes heraus: Grundsätzlich teilen Quantile eine (aufsteigend) sortierte Zahlenliste in Abschnitte.

  • 25 %-Quantil (1. Quartil, Q1): 25 % der Werte liegen links davon (oder sind kleiner/gleich).

  • 50 %-Quantil (Median, 2. Quartil, Q2): „mittlerer“ Wert (bzw. bei gerader Anzahl der Mittelwert der zwei mittleren Werte).

  • 75 %-Quantil (3. Quartil, Q3): 75 % der Werte liegen links davon.

Beispiel

Wir haben 10 Werte:

82, 91, 12, 92, 63, 9, 28, 55, 96, 97

Wir sortieren sie:

9, 12, 28, 55, 63, 82, 91, 92, 96, 97

25 %-Quantil (Q1)

25% heißt: „Ein Viertel der Werte soll links davon liegen.“

In unserem Zahlenbeispiel mit 10 Zahlenwerten:

  • \(25\% \cdot 10 = 2{,}5\) → „2,5. Wert“ (eine halbe Position gibt es nicht)

  • Julia nimmt deshalb den nächsten sinnvollen Rang: Position 3

  • Dieses Vorgehen (nächster Rang nach oben) nennt man in der Literatur Nearest-Rank-Verfahren

  • Es gibt auch andere Strategien

9, 12, [28], 55, 63, 82, 91, 92, 96, 97

In unserem Beispiel ist das 25 %-Quantil = 28.

Hinweis

Es gibt verschiedene Quantil-Definitionen. Je nach Definition bekommt man auch andere Ergebnisse. Die Idee der Nearest-Rank-Definition ist:

  • Idee: „Es gibt keine halbe Position – wir nehmen den nächsten sinnvollen Messwert.“

  • Regel: Nimm das kleinste Element, bei dem „mindestens \(q\) %“ erreicht sind. Im Zweifel: fragen Sie immer nach, mit welchem Verfahren die Ergebnisse bestimmt wurden.

50 %-Quantil (Median)

50 % heißt: „Die Hälfte der Werte liegt links, die Hälfte rechts.“ Bei 10 Werten gibt es keinen einzelnen mittleren Wert, sondern zwei in der Mitte.

9, 12, 28, 55, [63, 82], 91, 92, 96, 97

Der Median liegt zwischen diesen beiden: (63 + 82) / 2 = 72,5

In unserem Beispiel ist das 50 %-Quantil (Median) = 72,5.

75 %-Quantil (Q3)

75 % heißt: „Drei Viertel der Werte sollen links davon liegen.“ Drei Viertel von 10 sind 7,5 Werte → Nearest-Rank nimmt den nächsten ganzen Rang: \(k = \lceil 0{,}75 \cdot 10 \rceil = 8\).

9, 12, 28, 55, 63, 82, 91, [92], 96, 97

In unserem Beispiel ist das 75 %-Quantil = 92.

Versteckte Komplexität

Quantile können unterschiedliche definiert sein. Die Ergebnisse hängen von der gewählten Methode ab. Was wohl pandas intern verwendet hat? Finden Sie es heraus!

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