2.4.2. Zahlen (S)

• Im vorherigen Abschnitt haben Sie gesehen, dass eine Bitfolge wie 0101111 für die Ziffer 6 stehen kann.

• Eine Bitfolge bedeutet nicht „von selbst“ etwas, sondern erst durch eine Codierung (ein Regelwerk).

Bei UPC gab es nicht direkt ein Muster. Sie haben in der Tabelle einfach abgelesen, dass 0101111 für die Ziffer 6 steht.

2.4.2.1. Binary-coded decimal

Der Binary-coded decimal (BCD) ist eine weitere numerische Codierung. Die Zuordnung der Zahlen unterscheidet sich aber von dem, was wir bei UPC gesehen haben. Sehen Sie sich die Zuordnungstabelle der BCD-Codierung näher an. Fällt Ihnen etwas auf?

Zahl	BCD-Code
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10	0001 0000
11	0001 0001
12	0001 0010
13	0001 0011
14	0001 0100
15	0001 0101
16	0001 0110
17	0001 0111
18	0001 1000
19	0001 1001
20	0010 0000
21	0010 0001
22	0010 0010
23	0010 0011

Die Bitmuster für 0–9 ergeben sich nach einem sehr einfachen Schema:

• linkes Bit: steht für 8 (\(2^3\))

• zweites Bit: steht für 4 (\(2^2\))

• drittes Bit: steht für 2 (\(2^1\))

• rechtes Bit: steht für 1 (\(2^0\))

Hat das Bit den Wert „1“ wird der zugehörige Wert (8,4,2,1) addiert, bei „0“ wird nichts addiert.

Hier noch einmal als Übersicht dargestellt:

Dezimal	BCD-Code	Umrechnung
0	0000	\(0\cdot 8 + 0\cdot 4 + 0\cdot 2 + 0\cdot 1 = 0\)
1	0001	\(0\cdot 8 + 0\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 = 1\)
2	0010	\(0\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 0\cdot 1 = 2\)
3	0011	\(0\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 1\cdot 1 = 3\)
4	0100	\(0\cdot 8 + 1\cdot 4 + 0\cdot 2 + 0\cdot 1 = 4\)
5	0101	\(0\cdot 8 + 1\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 = 5\)
6	0110	\(0\cdot 8 + 1\cdot 4 + 1\cdot 2 + 0\cdot 1 = 6\)
7	0111	\(0\cdot 8 + 1\cdot 4 + 1\cdot 2 + 1\cdot 1 = 7\)
8	1000	\(1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 0\cdot 2 + 0\cdot 1 = 8\)
9	1001	\(1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 = 9\)

Definition: Nibble und Byte

• Ein Nibble sind 4 Bits (z. B. 0111).

• Ein Byte sind 8 Bits (= 2 Nibbles, z. B. 0111 0101).

• Im Vergleich zum UPC ist BCD damit „systematischer“.

• Wenn Sie das Muster kennen, brauchen Sie für 0–9 keine Tabelle mehr!

Bei zwei Ziffern, wird einfach jeder Ziffer einzeln umgerechnet.

2.4.2.2. Beispiel: 75 in BCD

1. Zerlegen Sie die Zahl in ihre Einzelziffern: \(75 \rightarrow\) „7“ und „5“.

2. Codieren Sie jede Ziffer als 4 Bits (Schalterwerte 8-4-2-1):

   • \(7 = 0\cdot 8 + 1\cdot 4 + 1\cdot 2 + 1\cdot 1 \rightarrow\) 0111

   • \(5 = 0\cdot 8 + 1\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 \rightarrow\) 0101

3. Hängen Sie die Bits aneinander: \(75 \rightarrow\) 0111 0101

Problem

• BCD codiert jede Dezimalziffer mit 4 Bits.

• Ab der Zahl 10 haben wir zwei Ziffern (1 und 0) und brauchen deshalb 2 Nibbles = 8 Bits (1 Byte).

• Das ist ineffizient, denn mit 4 Bits gäbe es bereits \(2^4 = 16\) mögliche Bitmuster, aber für Dezimalziffern werden nur 10 davon genutzt (0–9) – 6 Muster bleiben ungenutzt.

Was wäre also, wenn wir diese ungenutzten Muster einfach zum Weiterzählen verwenden würden?

Dezimal	BCD-Code	Alternative???
0	0000	0000
1	0001	0001
2	0010	0010
3	0011	0011
4	0100	0100
5	0101	0101
6	0110	0110
7	0111	0111
8	1000	1000
9	1001	1001
10	0001 0000	1010 <– ungenutzt
11	0001 0001	1011 <– ungenutzt
12	0001 0010	1100 <– ungenutzt
13	0001 0011	1101 <– ungenutzt
14	0001 0100	1110 <– ungenutzt
15	0001 0101	1111 <– ungenutzt

2.4.2.3. Binärdarstellung

Die Binärdarstellung ist ein Stellenwertsystem und nutzt die verfügbaren Bitmuster aus:

Zahl	Binär (Nibble-Darstellung)
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111
16	0001 0000
17	0001 0001
18	0001 0010
19	0001 0011
20	0001 0100
32	0010 0000
64	0100 0000
128	1000 0000
256 (= 2**8)	0001 0000 0000

Die Binärdarstellung ist eine Stellenwertdarstellung zur Basis 2: Jedes Bit hat einen Stellenwert (eine Potenz von 2), und der Zahlenwert ergibt sich als Summe aller gesetzten Bits:

\[ \sum b_i \cdot 2^i \quad \text{mit} \quad b_i \in \{0,1\} \]