7.7. Big picture (S)#
Sie haben in diesem Kapitel Datentypen kennengelernt und wie die Codierung von Zahlen und Text konkret umgesetzt wird.
Im Kapitel Basiswissen sind Sie bereits auf
Zahlensysteme
Datenstrukturen (Abstrakte Datenstrukturen und Speicherrepräsentationen)
gestoßen.
Wie hängt das denn nun alles zusammen?
Das wollen wir uns an einem Beispiel anschauen:
Abb. 7.10 Überblick über die Datentypen in Python.#
Die Abbildung 7.10 zeigt, wie ein konkreter Wert (−13,25) von der mathematischen Bedeutung bis zur physikalischen Speicherung abgebildet wird.
Ebene |
Zentrale Frage |
Beschreibung |
|---|---|---|
Mathematik |
Was ist die Zahl? |
Die „echte“ Zahl −13,25 – so wie wir sie aus der Mathematik kennen, ohne Begrenzung. |
Datentyp |
Wie soll das Programm sie verstehen? |
Wir sagen dem Programm: „Das ist eine Gleitkommazahl (float).“ |
Repräsentationsmodell |
Wie funktioniert eine Gleitkommazahl grundsätzlich? |
Wir zerlegen die Zahl in Vorzeichen, Mantisse und Exponent (z. B. 1,10101 × 2³). |
Codierung (Konzept) |
Wie viele Bits bekommt welcher Teil? |
Wir legen fest: 1 Bit für das Vorzeichen, 8 für den Exponent, 23 für die Mantisse. |
Codierung (Wert) |
Welche Bits repräsentieren genau diesen Wert? |
Für −13,25 entsteht daraus z. B. die Bitfolge 11000001010101000000000000000000. |
Speicherlayout |
In welcher Reihenfolge liegen die Bytes im RAM? |
Die 4 Bytes werden im Speicher z. B. als 00 00 54 C1 abgelegt (Little Endian). |
Es ist wichtig, dass Sie die Konzepte und deren Umsetzungen voneinander unterscheiden können, denn Fehler können an jeder dieser Stellen passieren:
mathematische Modellierung
Wahl des Datentyps
Standard (z. B. IEEE 754)
konkrete Codierung
Speicherlayout / Plattform
Beispiel: Patriot-System 1991
Im Patriot-System (1991) spielte ein Zeitinkrement von \(0{,}1\,\mathrm{s}\) eine zentrale Rolle. In einem Computer muss dieser Wert jedoch als endliche Binärdarstellung gespeichert bzw. bei der Umrechnung verwendet werden. \(0{,}1 = \frac{1}{10}\) besitzt in Basis 2 eine unendliche periodische Darstellung (weil im Nenner ein Faktor \(5\) vorkommt) und kann daher nur gerundet oder abgeschnitten werden.
Im Binärsystem sind nur Brüche der Form
in endlicher Stellenzahl exakt darstellbar.
Beispiele:
Diese sind exakt darstellbar.
Aber:
sind nicht exakt darstellbar, da ihre Nenner keine Zweierpotenzen sind.
Solche Zahlen besitzen im Binärsystem eine unendliche periodische Darstellung und müssen daher gerundet oder (bei fester Wortbreite) abgeschnitten werden.
Wird ein solcher Wert über lange Zeit sehr häufig weiterverwendet (z. B. bei wiederholter Zeit-Umrechnung oder als Zeitinkrement), kann sich der kleine Fehler aufsummieren. Dann entsteht mit der Zeit eine messbare Abweichung.
Ursache
Der Fehler entsteht bei der Repräsentation/Codierung: Mit einer endlichen Anzahl an Bits kann 0,1 im Binärsystem nicht exakt dargestellt werden (es muss gerundet/abgeschnitten werden).
Reale Folge:
Zielposition wurde falsch berechnet.
28 Soldaten starben.
Wichtig
Wenn Sie die Ebenen und die damit verbundenen Fehlerursachen nicht unterscheiden können,
wiegen Sie sich in Sicherheit (Beispiel Patriot: „Die Software funktioniert logisch so wie ich das wollte“),
suchen Sie am falschen Ort nach dem Fehler,
interpretieren Sie Symptome statt Ursachen,
oder finden den Fehler gar nicht (oder im besten Fall brauchen Sie dafür sehr lange).
Was Sie mitnehmen sollten …
Wissen, dass Zahlen im Computer endliche Repräsentationen sind.
Wissen, dass es mehr als nur Datentyp und Bitfolge gibt.
Konzeptionell verstehen, wie diese Ebenen zusammenhängen.
Denn nur dann können Sie technische Probleme systematisch analysieren – statt zufällig zu experimentieren bis es scheinbar (!!!) funktioniert.
Abb. 7.11 Programmierung kann schwierig sein#
Aufgabe
Wo würden Sie Abstrakte Datentypen wie Queue oder Stack in der Abbildung vermuten?